在等差數(shù)列{an}中,公差d≠0,a1=1且a1,a2,a5成等比數(shù)列.在數(shù)列{bn}中,b1=3,bn+1=2bn-1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an•(bn-1)}的前n項(xiàng)和為T(mén)n
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出(1+d)2=1•(1+4d),由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;在數(shù)列{bn}中,由bn+1=2bn-1,得bn+1-1=2(bn-1),由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
(2)由(1)得an•(bn-1)=(2n-1)•2n,由此利用錯(cuò)位相減法能求出Tn=6+(2n-3)•2n+1
解答: (本小題滿(mǎn)分12分)
解:(1)依題意得
a1=1
a22=a1a5
,即(1+d)2=1•(1+4d),
解得d=2,或d=0,不合要求,舍去.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
在數(shù)列{bn}中,由bn+1=2bn-1,
得bn+1-1=2(bn-1),
即數(shù)列{bn-1}是首項(xiàng)為b1-1=2,公比為2的等比數(shù)列.
bn-1=2•2n-1=2n
bn=2n+1.…(6分)
(2)由(1)得an•(bn-1)=(2n-1)•2n,
∴Tn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n,
2Tn=1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1
相減得-Tn=2+2(22+23+…+2n-1+2n)-(2n-1)•2n+1
=-2+2(2+22+23+…+2n-1+2n)-(2n-1)•2n+1
=-2+2•
2(1-2n)
1-2
-(2n-1)•2n+1
=-2+2n+2-4-(2n-1)•2n+1
整理得Tn=6+(2n-3)•2n+1.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S3=a7,a8-2a3=3.
(Ⅰ)求an
(Ⅱ)設(shè)bn=
1
Sn
,數(shù)列{bn}的前n行和記為T(mén)n,求證:Tn
3
4
-
1
n+1
(n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1-a
2
x2
-ax-a(a>0).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn.已知a1=6,an+1=3Sn+5n,n∈N*
(1)設(shè)bn=Sn-5n,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}中是否存在不同的三項(xiàng),它們構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若n∈N*,且n為奇數(shù),則6n+C
 
1
n
•6n-1+C
 
2
n
•6n-2+…+C
 
n-1
n
•6被8除所得的余數(shù)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知A(1,0),P為圓F:(x+1)2+y2=16上任意一點(diǎn),線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)交半徑FP于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),
(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)D(0,1),是否存在不平行于x軸的直線(xiàn)l與點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)M,N,使(
DM
+
DN
)
MN
=0,若存在,求出直線(xiàn)l的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若
m
=(2,cos2C-1),
n
=(sin2
A+B
2
,1)且
m
n

(1)求角C的大小;
(2)若c=
3
,△ABC的面積S=
3
2
,求a+b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:-22-(0.7)lg1+log26+log2
64
3
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若x,y滿(mǎn)足約束條件
x≥0
x-2y≥0
x-y≤1
,則z=x+2y的最大值為
 

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