Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取線段AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF．則AF=CD，AF∥CD，

所以四邊形ADCF是平行四邊形，

則CF∥AD；

又EF∥AP且CF∩EF=F，

∴面CFE∥面PAD，

又EC面CEF，

∴EC∥平面PAD

（2）解：如圖，以C為原點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F， 、 、 分別為x軸、y軸、z軸正向，

建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．

設(shè)P（0，0，a）（a＞0），則E（ ，﹣ ， ），

=（1，1，0）， =（0，0，a）， = ，﹣ ， ），

取 =（1，﹣1，0），則 為面PAC的法向量．

設(shè) =（x，y，z）為面EAC的法向量，則

取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則 =（a，﹣a，﹣2），

依題意，|cos＜ ， ＞|= = ，則a=1．

于是 =（1，﹣1，﹣2）， =（1，1，﹣2）．

設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos＜ ＞|= = ，

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）取線段AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，證明四邊形ADCF是平行四邊形，進(jìn)而證明面CFE∥面PAD，即可證明EC∥平面PAD；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值為 ，可求a的值，從而可求 ，利用向量的夾角公式即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．