矩形ABCD的中心在坐標原點，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點．設直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點依次為L，M，N．
（1）求以HF為長軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）．
（3）設線段OF的n（n∈N+，n≥2）等分點從左向右依次為Ri（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點從上向下依次為Ti（i=1，2，…，n-1），那么直線ERi（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）
（1）由題意，2a=AB=8，2b=BC=6，
∴a=4，b=3，
∴橢圓Q的方程為
x2
16
+
y2
9
=1；
（2）由題意知E（0，-3），R（1，0），G（0，3），R′(4，
4
9
)
可得直線ER的方程為y=3x-3，直線GR′的方程為y=-
3
16
x+3
聯(lián)立可解得L(
96
51
，
135
51
)，代入橢圓方程
x2
16
+
y2
9
=1成立，得證．
（3）由（2）知，直線ERi（i=1，2，…，n-1）與直線GTi（i=1，2，…，n-1）的交點一定在橢圓Q上．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為(
2
，0)，且長軸長為短軸長的
3
倍．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設橢圓的下頂點為A，且橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M，N．當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1，直線l過點M（m，0）．
（Ⅰ）若直線l交y軸于點N，當m=-1時，MN中點恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l交橢圓C于A，B兩點，當m=-4時，在x軸上是否存在點p，使得△PAB為等邊三角形？若存在，求出點p坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐標原點，C的右頂點和上頂點分別為A、B，且△AOB的面積為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點M、N，交y軸于Q點，證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值，并求這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
（Ⅱ）設m=2，過點D（0，4）的直線l與曲線C交于M，N兩點，O為坐標原點，若∠OMN為直角，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
16
+
y2
9
=1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經過如下五個點中的三個點：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設點A為橢圓M的左頂點，B，C為橢圓M上不同于點A的兩點，若原點在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直線l：y=x+b與拋物線x2=4y相切于點A．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）若過拋物線的焦點且平行于直線l的直線l1交拋物線于B，C兩點，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2+
y2
2
=1上的兩個焦點，A，B是過焦點F1的一條動弦，則△ABF2的面積的最大值為（　　）
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2

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