已知函數(shù)f(x)=x2+ax+blnx(x>0,實數(shù)a,b為常數(shù)).
      (Ⅰ)若a=1,b=-1,求函數(shù)f(x)的極值;
      (Ⅱ)若a+b=-2,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
      分析:(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù)的根,判斷導(dǎo)函數(shù)左右兩邊的符號,得函數(shù)的單調(diào)性,據(jù)極值的定義求出極值.
      (Ⅱ)求出導(dǎo)函數(shù)的根,討論根在不在定義域內(nèi);若根在定義域內(nèi),討論兩根的大�。慌袛喔笥覂蛇厡�(dǎo)函數(shù)的符號,據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系求出單調(diào)性.
      解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=x2+x-lnx,則f′(x)=2x+1-
      1
      x
      ,
      令f′(x)=0,得x=-1(舍去),x=
      1
      2

      當(dāng)0<x<
      1
      2
      時,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;
      當(dāng)x>
      1
      2
      時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;
      ∴f(x)在x=
      1
      2
      處取得極小值
      3
      4
      +ln2.

      (Ⅱ)由于a+b=-2,則a=-2-b,從而f(x)=x2-(2+b)x+blnx,
      則f′(x)=2x-(2+b)+
      b
      x
      =
      (2x-b)(x-1)
      x

      令f′(x),得x1=
      b
      2
      ,x2=1.
      1、當(dāng)
      b
      2
      ≤0,即b<0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),
      單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞);
      2、當(dāng)0<
      b
      2
      <1,即0<b<2時,列表如下:
      所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
      b
      2
      ),(1,+∞),
      單調(diào)遞減區(qū)間為(
      b
      2
      ,1);
      3、當(dāng)
      b
      2
      =1,即b=2時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
      4、當(dāng)
      b
      2
      >1,即b>2時,列表如下:
      精英家教網(wǎng)
      所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(
      b
      2
      ,+∞),
      單調(diào)遞減區(qū)間為(1,
      b
      2
      );
      綜上:當(dāng)
      b
      2
      ≤0,即b<0時,
      函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),
      單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞);
      當(dāng)0<
      b
      2
      <1,即0<b<2時,
      函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
      b
      2
      ),(1,+∞),
      單調(diào)遞減區(qū)間為(
      b
      2
      ,1);
      當(dāng)
      b
      2
      =1,即b=2時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
      當(dāng)
      b
      2
      >1,即b>2時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(
      b
      2
      +∞),
      單調(diào)遞減區(qū)間為(1,
      b
      2
      ).
      點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì):求極值,求單調(diào)區(qū)間.考查分類討論時注意分類的起點.
      練習(xí)冊系列答案
      相關(guān)習(xí)題

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
      π
      2
      )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( �。�
      A、f(x)=2sin(πx+
      π
      6
      )(x∈R)
      B、f(x)=2sin(2πx+
      π
      6
      )(x∈R)
      C、f(x)=2sin(πx+
      π
      3
      )(x∈R)
      D、f(x)=2sin(2πx+
      π
      3
      )(x∈R)

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      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
      1
      3
      x3+bx2+cx+d
      ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
      (1)求f(x);
      (2)設(shè)g(x)=x
      f′(x)
       , m>0
      ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
      (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
      x
      a
      -1)2+(
      b
      x
      -1)2,x∈(0,+∞)
      ,其中0<a<b.
      (1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
      (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
      (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
      求證:f1(x)+f2(x)>
      4c2
      k(k+c)

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      科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

      已知函數(shù)f(x)=(
      x
      a
      -1)2+(
      b
      x
      -1)2,x∈(0,+∞)
      ,其中0<a<b.
      (1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
      (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
      (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
      求證:f1(x)+f2(x)>
      4c2
      k(k+c)

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      科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

      已知函數(shù)f(x)=
      1
      3
      x3+bx2+cx+d
      ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
      (1)求f(x);
      (2)設(shè)g(x)=x
      f′(x)
       , m>0
      ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
      (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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