Question

雙曲線(xiàn)C的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線(xiàn)分別為l₁，l₂，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于l₁的直線(xiàn)分別交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)．已知|

OA

|=2|

FA

|，且

BF

與

FA

同向．
（1）求雙曲線(xiàn)C的離心率；
（2）設(shè)AB被雙曲線(xiàn)C所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為4，求雙曲線(xiàn)C的方程．

Answer 1

分析：（1）作出示意圖如圖所示，設(shè)漸近線(xiàn)y=

b

a

x的傾斜角為α，可得∠FOA=α且∠OFA=90°+α，根據(jù)|

OA

|=2|

FA

|在△OFA中利用根據(jù)正弦定理，算出cosα=2sinα得tanα=

1

2

，從而算出a=2b，即可算出該雙曲線(xiàn)的離心率；
（2）根據(jù)題意設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x²-4y²=4b²，直線(xiàn)AB方程為y=-2（x-

5

b），聯(lián)解消去y得關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系與弦長(zhǎng)公式列式，結(jié)合雙曲線(xiàn)被AB截得的弦長(zhǎng)為4建立關(guān)于b的等式，解出b的值即可得到雙曲線(xiàn)C的方程．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），設(shè)漸近線(xiàn)y=

b

a

x的傾斜角為α，則∠BOF=∠FOA=α，
由BF⊥OB，可得∠OFA=90°+α，
∵△OFA中，|

OA

|=2|

FA

|，
∴根據(jù)正弦定理

| OA |

sin∠OFA

=

| AF |

sin∠FOA

，得sin∠OFA=2sin∠FOA，
即sin（90°+α）=2sinα，可得cosα=2sinα，
∴tanα=

sinα

cosα

=

1

2

，即

b

a

=

1

2

，得a=2b，c=

a2+b2

=

5

b，
因此，雙曲線(xiàn)C的離心率e=

c

a

=

5 b

2b

=

5

2

；
（2）由（1）得a=2b，雙曲線(xiàn)的方程可化為x²-4y²=4b²…①
設(shè)l₁的斜率為

b

a

=

1

2

，可得直線(xiàn)AB的斜率k=-2，得直線(xiàn)AB的方程為y=-2（x-c），
即y=-2（x-

5

b），…②
將②代入①并化簡(jiǎn)，得15x²-32

5

bx+84b²=0
設(shè)AB與雙曲線(xiàn)的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則
 x₁+x₂=

32 5

15

b，x₁x₂=

84b2

15

…③
∵AB被雙曲線(xiàn)所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為l=

1 +(-2)2

•|x₁-x₂|=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

 
∴將③式代入，并可得l=

5[( 32 5 15 b)2-4× 84b2 15 ]

=

4b

3

∵根據(jù)已知條件得l=4，∴

4b

3

=4，解得b=3，從而得到a=6．
因此，所求雙曲線(xiàn)的方程為

x2

36

-

y2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)滿(mǎn)足的條件，求雙曲線(xiàn)的離心率并在指定條件下求雙曲線(xiàn)的方程．著重考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．