Question

已知函數(shù)y=f （x）=．
（1）求函數(shù)f （x）的圖象在x=處的切線方程；
（2）求y=f （x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），求出切點(diǎn)坐標(biāo)以及f′（）即為切線的斜率，在根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程，化成斜截式即可；
（2）令f′（x）=0得：x=e，然后將定義域（0，+∞）分成兩部分，分別研究函數(shù)在（0，e）與（e，+∞）上的導(dǎo)數(shù)符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值．
解答：解：（1）∵f （x）定義域?yàn)椋?，+∞），∴f′（x）=（2分）
∵f （）=-e，∴切點(diǎn)為（，-e）又∵k=f′（）=2e²．
∴函數(shù)y=f （x）在x=處的切線方程為：y+e=2e²（x-），
即y=2e²x-3e．（6分）
（2）令f′（x）=0得：x=e
當(dāng)x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)．
∴f_max （x）=f （e）=．（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．