Question

對(duì)于給定數(shù)列{c_n}，如果存在實(shí)常數(shù)p、q，使得c_n+1＝pc_n＋q對(duì)于任意n∈N^*都成立，我們稱數(shù)列{c_n}是“k類數(shù)列”．

(Ⅰ)若a_n＝2n，b_n＝3·2ⁿ，n∈N^*，數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“k類數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)p、q，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(Ⅱ)證明：若數(shù)列{a_n}是“k類數(shù)列”，則數(shù)列{a_n＋a_n+1}也是“k類數(shù)列”；

(Ⅲ)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝2，a_n＋a_n+1＝3t·2ⁿ(n∈N^*)，t為常數(shù)．求數(shù)列{a_n}前2012項(xiàng)的和．并判斷{a_n}是否為“k類數(shù)列”，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0020/4875835a7b1c12014748f39b230fb53e/C/Image197.gif" width=68 height=24>則有 　　故數(shù)列是“類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為；1分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0020/4875835a7b1c12014748f39b230fb53e/C/Image203.gif" width=62 height=25>，則有，． 　　故數(shù)列是“類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為；3分 　　(Ⅱ)證明：若數(shù)列是“類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)， 　　使得對(duì)于任意都成立， 　　且有對(duì)于任意都成立， 　　因此對(duì)于任意都成立， 　　故數(shù)列也是“類數(shù)列”． 　　對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為．6分 　　(Ⅲ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5432/0020/4875835a7b1c12014748f39b230fb53e/C/Image213.gif" width=165 height=25>則有，， 　　故數(shù)列前2012項(xiàng)的和 　　＋＋＋ 　　；9分 　　若數(shù)列是“類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù) 　　使得對(duì)于任意都成立， 　　且有對(duì)于任意都成立， 　　因此對(duì)于任意都成立， 　　而，且， 　　則有對(duì)于任意都成立，可以得到 　　， 　　當(dāng)時(shí)，，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件． 　　當(dāng)時(shí)，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件． 　　因此當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，數(shù)列是“類數(shù)列”． 　　對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為或；13分