Question

已知f（x）=|x²-4x-5|
（1）求函數(shù)f（x）的零點；
（2）討論方程|x²-4x-5|=K（K∈R）的解的情況．

Answer 1

解：（1）令f（x）=|x²-4x-5|=0
即x²-4x-5=0
解得x=-1，或x=5，
即函數(shù)f（x）的零點為-1和5．
（2）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

由圖得：
當(dāng)k＜0時，f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k無交點，則方程|x²-4x-5|=k無解；
當(dāng)k=0，或k＞9時，f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k有兩個交點，則方程|x²-4x-5|=k有兩解；
當(dāng)0＜k＜9時，f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k有四個交點，則方程|x²-4x-5|=k有四解；
當(dāng)k=9時，f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k有三個交點，則方程|x²-4x-5|=k有三解．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系，解方程|x²-4x-5|=0，即可求出函數(shù)f（x）的零點；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對折變換法則，我們易畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象，分別討論f（x）=|x²-4x-5|的圖象與y=k交點的個數(shù)，即可得到方程|x²-4x-5|=k的解的情況．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)圖象的作法，函數(shù)的零點，根的存在性及根的個數(shù)的判斷，其中（2）中的數(shù)形結(jié)合是高中的第一大數(shù)學(xué)思想，要引起大家的重視．