Question

為扶持大學生自主創(chuàng)業(yè)，市政府提供了80萬元的無息貸款，用于某大學生開辦公司，生產(chǎn)并銷售自主研發(fā)的一種電子產(chǎn)品，并約定用該公司的經(jīng)營利潤逐步償還無息貸款，一盒子該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件40元；員工每人每月工資是2500元，公司每月支出其它費用15萬元，該產(chǎn)品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式如圖所示．
（1）求月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；
（2）當銷售單價定為50元時，為保證公司月利潤達到5萬元，該公司應安排員工多少人？
（3）若該公司有80名員工，則該公司最早可在幾個月內(nèi)還清無息貸款？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）從圖中看，這是一個分段一次函數(shù)，40≤x≤60和60＜x＜100時，函數(shù)的表達式不同，每段函數(shù)都經(jīng)過兩點，使用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關系式；
（2）利用（1）中的函數(shù)關系，當銷售單價定為50元時，可計算出月銷售量，設可安排員工m人，利潤=銷售額一生產(chǎn)成本-員工工資-其它費用，列出方程即可解；
（3）先分情況討論出利潤的最大值，即可求解．

解答： 解：（1）當40≤x≤60時，令y=kx+b，
則

40k+b=4 60k+b=2

，
解得k=-0.1，b=8，
故y=-0.1x+8，
同理，當60＜x≤80時，y=-0.05x+5．
故y=

-0.1x+8，40≤x≤60 -0.05x+5，60＜x≤80

；
（2）設公司可安排員工a人，定價50元時，
由5=（-0.1×50+8）（50-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，解得a=40，
所以公司可安排員工40人；
（3）當40≤x≤60時，
利潤w₁=（-0.1x+8）（x-40）-15-20=-0.1（x-60）²+5，
則當x=60時，w_max=5萬元；
當60＜x＜100時，
w₂=（-0.05x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-0.05（x-70）²+10，
∴x=70時，w_max=10萬元，
∴要盡早還清貸款，只有當單價x=70元時，獲得最大月利潤10萬元，
設該公司n個月后還清貸款，則10n≥80，
∴n≥8，即n=8為所求．

點評：本題主要考查學生利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關系式，一次函數(shù)與一次不等式的應用，是一道綜合性較強的代數(shù)應用題，能力要求比較高．