Question

【題目】已知點(diǎn)是曲線：上的動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)（是坐標(biāo)原點(diǎn)）到，使得，點(diǎn)的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)，分別是曲線的左、右焦點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）過點(diǎn)且不垂直軸的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，即設(shè)，，由已知用表示，并把代入方程可得方程；

（2）設(shè)，則．求出后可得取值范圍；

（3）設(shè)，則．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，，．由直線與橢圓相交弦試公式（用韋達(dá)定理求解）得弦長(zhǎng)，求出到直線的距離后可表示出的面積，注意引入三角恒等變換，設(shè)，可化簡(jiǎn)表達(dá)式，從而求得最值．

解：（1）設(shè)，，∵，∴，可得，代入，可得，

∴曲線的方程為．

（2），．設(shè)，則． 則

，

∵，∴．

（3）設(shè)，則．

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為：，，．

聯(lián)立，

消去得：，

∴，，

∴，

點(diǎn)到直線的距離．

∴．

令，

則，令，

∴，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值．