Question

已知橢圓C₁：x²+4y²=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn) P是C₁上任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，

OQ

=

PF1

+

PF2

，設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為C₂．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡C₂的方程；
（2）若點(diǎn) T滿足：

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，其中 M，N是C₂上的點(diǎn)，且直線 O M，O N的斜率之積等于-

1

4

，是否存在兩定點(diǎn) A，B，使|T A|+|T B|為定值？若存在，求出這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）可分別設(shè)出點(diǎn)Q與P的坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件找到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后用所求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入已知的方程即可；
（2）根據(jù)已知條件與所求可以看出所求的結(jié)果應(yīng)該與橢圓的定義有關(guān)，因此可以先將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)給出來(lái)，然后再代入已知的條件化簡(jiǎn)得到點(diǎn)T坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，然后進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則x₀²+4y₀²=1，
易知F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-

3

2

，0），（

3

2

，0），因?yàn)?span id="h19znrr" class="MathJye">

OQ

=

PF1

+

PF2

，
所以（x，y）=（-2x₀，-2y₀），即

x0=- x 2 y0=- y 2

，代入x₀²+4y₀²=1得

x2

4

+y2=1．
即橢圓C₂的方程為得

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）．
由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

得（x，y）=（x₁-x₂，y₁-y₂）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）．所以x=2x₂+x₁，y=2y₂+y₁．
設(shè)直線OM，ON的斜率分別為k_OM，k_ON，由已知得k_OM•k_ON=

y1y2

x1x2

=-

1

4

．
即x₁x₂+4y₁y₂=0，又x12+4y12=4，x22+4y22=4，
所以x2+4y2=(2x2 +x1 )²+4(2y2+y1)2=x12+4y12+4(x22+4y22)+4x1x2+16y₁y₂
=20+4（x₁x₂+4y₁y₂）=20，
所以x²+4y²=20，即T是橢圓

x2

20

+

y2

5

=1上的點(diǎn)，
根據(jù)橢圓的定義可知，存在兩定點(diǎn)A，B分別為橢圓

x2

20

+

y2

5

=1的
兩個(gè)焦點(diǎn)使|TA|+|TB|為定值，因?yàn)榇藭r(shí)a²=20，所以a=2

5

，
所以|TA|+|TB|=2a=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了代入法求軌跡方程的方法，第二問(wèn)主要是考查對(duì)橢圓的定義及性質(zhì)的理解和掌握情況，屬于中檔題．