Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c圖象上的點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+1，函數(shù)g（x）=f（x）-ax²+3是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1，
又函數(shù)g（x）=-x³+bx+c+3是奇函數(shù)，
∴c=-3．∴a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），令f（x）=0，得x=或x=-2，
當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
所以f（x）_極小=f（-2）=-11，f（x）_極大=f．．
分析：（1）由題意先求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義和切點(diǎn)的實(shí)質(zhì)及g（x）為奇函數(shù)建立a，b，c的方程求解即可；
（2）有（1）可知函數(shù)f（x）的解析式，先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再利用極值概念加以求解即可．
點(diǎn)評(píng)：（1）此問重點(diǎn)考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，奇函數(shù)的概念和切點(diǎn)的定義，還考查了方程的數(shù)學(xué)思想；
（2）此問考查了函數(shù)的極值的定義和求極值的方法．