Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若且，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】

（1）根據(jù)，，利用勾股定理得到，再由，利用線面垂直的判定定理證明.

（2）由，，易得，在平面內(nèi)過點作軸垂直于，再結(jié)合（1）以，所在直線為，軸建立空間直角坐標系，求得的坐標，平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則由求解.

（1）因為，，

所以，

所以.

又，且，平面，平面，

所以平面.

（2）因為，，

所以，

在平面內(nèi)過點作軸垂直于，又由（1）知平面，

分別以，所在直線為，軸建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，，.

因為，

所以.

所以，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，

取得.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.