Question

（本小題滿分12分）如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)， 是線段上的點(diǎn)．

（I）當(dāng)是的中點(diǎn)時，求證：平面；

（II）要使二面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置．

 

Answer 1

【答案】

（I）只需證；（II）。

【解析】

試題分析：【法一】（I）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．

由已知得且，

又是的中點(diǎn)，則且，

是平行四邊形，                    ………………

∴

又平面，平面

平面………………………

（II）如圖，作交的延長線于.

連接，由三垂線定理得，

是二面角的平面角．即…………………

，設(shè)，

由可得

故，要使要使二面角的大小為，只需………………

【法二】（I）由已知，兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，則………………

，，，

設(shè)平面的法向量為

則，

令得………………………………………

由，得

又平面，故平面…………………

（II）由已知可得平面的一個法向量為，

設(shè)，設(shè)平面的法向量為

則，令得……………

由，

故，要使要使二面角的大小為，只需……………

考點(diǎn)：線面垂直項性質(zhì)定理；線面平行的判定定理；二面角。

點(diǎn)評：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點(diǎn)，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單運(yùn)算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角或補(bǔ)角； ②設(shè)分別是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小。