Question

設(shè)p，q是奇數(shù)，求證：方程x²+2px+2q=0沒(méi)有有理根．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專(zhuān)題：證明題,反證法,推理和證明

分析：設(shè)存在有理根，則x=

-2p± 4p2-8q

2

中至少有一個(gè)為有理數(shù)，可得存在有理數(shù)a使：4p²-8q=a²．設(shè)a=2b，再分類(lèi)討論，得出矛盾，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：設(shè)存在有理根則x=

-2p± 4p2-8q

2

中至少有一個(gè)為有理數(shù)．
∴

4p2-8q

為有理數(shù)
即存在有理數(shù)a使：4p²-8q=a²．
p，q是奇數(shù)，a整數(shù)
可設(shè)a=2b，∴p²-2q=b²，
∴p²-b²=2q
∴（p-b）（p+b）=2q
若b奇數(shù)，則p-b，p+b偶數(shù)，則2q=（p-b）（p+b）為4的倍數(shù)，q為偶數(shù)，矛盾
若b偶數(shù)，則p-b，p+b奇數(shù)，則2q=（p-b）（p+b）為奇數(shù)，矛盾，
∴假設(shè)不成立，
∴p，q是奇數(shù)，方程x²+2px+2q=0沒(méi)有有理根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反證法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用反證法是關(guān)鍵．