Question

（2013•房山區(qū)一模）設(shè)集合M是R的子集，如果點x₀∈R滿足：?a＞0，?x∈M，0＜|x-x₀|＜a，稱x₀為集合M的聚點．則下列集合中以0為聚點的有（　　）
①{

n

n+1

|n∈N}
②{x|x∈R，x≠0}
③{

2

n

|n∈N*}
④Z．

A．②③

B．②④

C．①③

D．①③④

Answer 1

分析：由已知中關(guān)于集合聚點的定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．

解答：解：①{

n

n+1

|n∈N}中的元素構(gòu)成以1為極限的數(shù)列，故對?a＞0，?x∈{

n

n+1

|n∈N}，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1為聚點，不是以0為聚點的．
②集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=

a

2

（實際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點．
③集合{

2

n

|n∈N^*}，其中的元素構(gòu)成以0為極限的數(shù)列，故對?a＞0，存在x∈{

2

n

|n∈N^*}，
使0＜|x-0|＜a成立，故0是此集合的聚點．
④集合Z中的元素是整數(shù)，故對?a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-0|＜a成立，∴0不是集合Z的聚點．
故選A．

點評：本題考查的知識點是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．