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9.已知函數(shù)y=x3+px2+qx,其圖象與x軸切于非原點的一點,且該函數(shù)的極小值是-4,那么切點坐標為(-3,0).

分析 設切點(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q).由題意得:方程x2+px+q=0有兩個相等實根a,故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,再利用y極小值=-4,可求a=-3,從而得到切點.

解答 解:設切點(a,0)(a≠0),
f(x)=x(x2+px+q),
由題意得:方程x2+px+q=0有兩個相等實根a,
故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x
f′(x)=3x2-4ax+a2=(x-a)(3x-a),
令f′(x)=0,則x=a或a3
∵f(a)=0≠-4,
∴f(a3)=-4,
于是a3a3-a)2=-4,
∴a=-3,
即有切點為(-3,0),
故答案為:(-3,0).

點評 本題以函數(shù)為載體,考查函數(shù)的極值,考查導數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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