Question

設(shè)A是棱長為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，對正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論：
①有12個(gè)頂點(diǎn)；②有24條棱；③有12個(gè)面；④表面積為3a²；⑤體積為

5

6

a³．
其中正確的結(jié)論是（　　）

• A、①③④
• B、①②⑤
• C、②③⑤
• D、②④⑤

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，原來的六個(gè)面仍然在，但是卻變成了一個(gè)小正方形，再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對應(yīng)的一個(gè)三角形的面，計(jì)算或數(shù)一數(shù)它的頂點(diǎn)數(shù)目、棱數(shù)及面數(shù)，可判斷①、②、③；
再結(jié)合割補(bǔ)法求出它的表面積及體積，可判斷④與⑤．

解答： 解：如圖，
對于①，由于所有的頂點(diǎn)都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點(diǎn)位置，原來的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點(diǎn)的數(shù)目是12，故①正確；
對于②，每個(gè)正方形4條邊，每個(gè)三角形3條邊，4×6+3×8=48，考慮到每條邊對應(yīng)兩個(gè)面，所以實(shí)際只有

1

2

×48=24（從圖片上可以看出每個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)4條棱，每條棱很明顯對應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)，所以棱數(shù)為

1

2

×48=24個(gè)），故②正確；
對于③，原來的六個(gè)面仍在，卻是變成了一個(gè)小正方形，且添了八個(gè)頂點(diǎn)各對應(yīng)的一個(gè)三角形的面，所以總計(jì)6+8=14個(gè)面，
故③錯(cuò)；
對于④，三角形和四邊形的邊長都是

2

2

a，所以正方形總面積為6×

1

2

a²=3a²，三角形總面積為8×

1

2

×

1

2

a²sin60°=

3

a²，
表面積（3+

3

）a²，故④錯(cuò)；
對于⑤，體積為原正方形體積減去8個(gè)三棱錐體積，每個(gè)三棱錐體積為8×

1

6

×(

a

2

)3=

1

6

a³，剩余總體積為a³-

1

6

a³=

5

6

a³．
故⑤正確．
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，多面體的表面積與體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸思想與空間想象能力、運(yùn)算求解能力，屬于難題．