Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線l的方程，不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/77537.png' />，且．
所以動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）的距離的和為8．
所以軌跡C以F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）為焦點(diǎn)的橢圓，
方程為．
（2）為直線l過點(diǎn)（0，3）．
若直線l是y軸，則A、B是橢圓的頂點(diǎn)．
，
所以O(shè)與P重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．
所以直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由，
由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．
由韋達(dá)定理．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20453.png' />，
所以O(shè)APB是平行四邊形．
若存在直線l，使得四邊形OAPB為矩形，
則OA⊥OB，即，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/30077.png' />，，
所以，
所以（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
所以
機(jī)，
故存在直線，使得四邊形OAPB為矩形．
分析：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/77537.png' />，且．所以動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）的距離的和為8．由此能求出動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程．
（2）若直線l是y軸，則A、B是橢圓的頂點(diǎn)．，所以O(shè)與P重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．所以直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．由韋達(dá)定理．因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20453.png' />，所以O(shè)APB是平行四邊形．由此能夠?qū)С龃嬖谥本�，使得四邊形OAPB為矩形．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，容易出錯(cuò)．