在平面直角坐標系中,若數(shù)學(xué)公式,且數(shù)學(xué)公式
(1)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
(2)過點(0,3)作直線l與曲線C交于A、B兩點,設(shè)數(shù)學(xué)公式,是否存在這樣的直線l,使得四邊形OAPB為矩形?若存在,求出直線l的方程,不存在,說明理由.

解:(1)因為,且
所以動點M到兩個定點F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2)的距離的和為8.
所以軌跡C以F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2)為焦點的橢圓,
方程為
(2)為直線l過點(0,3).
若直線l是y軸,則A、B是橢圓的頂點.

所以O(shè)與P重合,與四邊形OAPB是矩形矛盾.
所以直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2
,
由于△=(18k2)-4(4+3k2)(-21)>0恒成立.
由韋達定理
因為,
所以O(shè)APB是平行四邊形.
若存在直線l,使得四邊形OAPB為矩形,
則OA⊥OB,即,
因為,,
所以
所以(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0,
所以

故存在直線,使得四邊形OAPB為矩形.
分析:(1)因為,且.所以動點M到兩個定點F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2)的距離的和為8.由此能求出動點M(x,y)的軌跡C的方程.
(2)若直線l是y軸,則A、B是橢圓的頂點.,所以O(shè)與P重合,與四邊形OAPB是矩形矛盾.所以直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),由,由于△=(18k2)-4(4+3k2)(-21)>0恒成立.由韋達定理.因為,所以O(shè)APB是平行四邊形.由此能夠?qū)С龃嬖谥本,使得四邊形OAPB為矩形.
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.易錯點是計算量大,容易出錯.
練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標系中的坐標為
 

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在平面直角坐標系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

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在平面直角坐標系中,下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是( 。

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在平面直角坐標系中,以點(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點,若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點,則r=
 

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