已知函數(shù)f(x)=-x3+ax-4(a∈R).
(1)若a=2,求f(x)在[-1,1]上的最小值;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范圍.
分析:(1)把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式,求導(dǎo)后求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),由零點(diǎn)對(duì)[-1,1]分段后分析單調(diào)性,并求出極值,和端點(diǎn)值比較后得f(x)在[-1,1]上的最小值;
(2)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分a小于等于0和a大于0進(jìn)行討論,當(dāng)a大于0時(shí)求出原函數(shù)在(0,+∞)上的最大值,由最大值大于0求得a的取值范圍.
解答:解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=-x3+2x2-4,f′(x)=-3x2+4x.
令f′(x)=0,得x1=0,x2=
4
3

當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f′(x) -7 - 0 + 1
f(x) -1 -4 -3
∴當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)最小值為f(0)=-4;  
(2)∵f(x)=-3x(x-
2a
3
)

①若a≤0,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
又f(0)=-4,則當(dāng)x>0時(shí),f(x)<-4.
∴當(dāng)a≤0時(shí),不存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0;
②若a>0,則當(dāng)0<x<
2a
3
時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在(0,
2a
3
)
上單調(diào)遞增;
當(dāng)x>
2a
3
時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在在(
2a
3
,+∞)
上單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),fmax(x)=f(
2a
3
)=-
8a3
27
+
4a3
9
-4=
4a3
27
-4

根據(jù)題意,得
4a3
27
-4>0
,∴a>3.
綜上,a的取值范圍是(3,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,解答的關(guān)鍵在于把存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的最大值大于0求解,是有一定難度題目.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( �。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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