在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a=2，A=
π
3
．
（I 若|
AB
+
AC
|=2
3
，試判定△ABC的形狀；
（II）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面積．
分析：（I ）通過a=2，A=
π
3
，利用余弦定理得到a，b，c的關系式，通過|
AB
+
AC
|=2
3
，聯(lián)立方程組，求出a，b，c即可判定△ABC的形狀；
（II）利用兩角差的正弦函數(shù)化簡sinA+sin（B-C）=2sin2C，通過對cosC討論，結合b2+c2-bc=4，求出b，c的值，即可求△ABC的面積．
解答：解：（I ）因為a=2，A=
π
3
．由余弦定理可得b2+c2-bc=4．又|
AB
+
AC
|=2
3
．
所以|
AB
+
AC
|2=12．即b2+c2+bc=12，所以
b2+c2-bc=4
b2+c2+bc=12
解得b=c=2．a=2，
所以三角形是正三角形．
（II）由sinA+sin（B-C）=2sin2C得sin（B+C）+sin（B-C）=2sin2C．
即sinBcosC=2sinCcosC．
當cosC=0時C=
π
2
，B=
π
6
，c=
4
3
3
，b=
2
3
3
；
當cosC≠0時，有sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c．
聯(lián)立方程組
b2+c2-bc=4
b=2c
解得b=
4
3
3
，c=
2
3
3

所以三角形的面積為S=
1
2
bcsinA=
2
3
3
．
點評：本題是中檔題，考查余弦定理兩角和與差的三角函數(shù)，在三角形中的應用，考查分類討論思想，計算能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•天津）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a=2，c=
2
，cosA=-
2
4
．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，已知a2-c2=b，且sinAcosC=3cosAsinC，則b=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b是方程x2-2
3
x+2=0的兩根，2cos（A+B）=1，則△ABC的面積為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知A=45°，a=6，b=3
2
，則B的大小為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知B=60°，不等式x2-4x+1＜0的解集為{x|a＜x＜c}，則b=
13
13
．

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