Question

20、（1）一條長椅上有9個(gè)座位，3個(gè)人坐，若相鄰2人之間至少有2個(gè)空椅子，共有幾種不同的坐法？
（2）一條長椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，要求3個(gè)空位中，恰有2個(gè)空位相鄰，共有多少種不同的坐法？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，用插空法，先將3人與4張空椅子排好，再將剩余的兩把椅子插入，分“分別插入兩個(gè)空位”與“插入同一個(gè)空位”兩種情況分析，進(jìn)而考慮3個(gè)人之間的排列，由A₃³種不同的坐法，有分步計(jì)數(shù)原理，可得答案，
（2）可先讓4人坐在4個(gè)位置上，有A₄⁴種排法，再把“兩個(gè)相鄰的空位”與“單獨(dú)的空位”視為兩個(gè)元素，插入4個(gè)人形成的5個(gè)“空當(dāng)”之間，由排列公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）先將3人（用×表示）與4張空椅子（用□表示）
排列如圖（×□□×□□×），這時(shí)共占據(jù)了7張椅子，
還有2張空椅子，
第一種情況是分別插入兩個(gè)空位，
如圖中箭頭所示（↓×□↓□×□↓□×↓），
即從4個(gè)空當(dāng)中選2個(gè)插入，有C₄²種插法；
二是2張插入同一個(gè)空位，有C₄¹種插法，
再考慮3人可交換有A₃³種方法，
所以，共有A₃³（C₄²+C₄¹）=60（種）．
（2）可先讓4人坐在4個(gè)位置上，有A₄⁴種排法，
再讓2個(gè)“元素”（一個(gè)是“兩個(gè)相鄰空位”，另一個(gè)“單獨(dú)的空位”）
插入4個(gè)人形成的5個(gè)“空當(dāng)”之間，有A₅²種插法，所以所求的坐法數(shù)為A₄⁴•A₅²=480．

點(diǎn)評：本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意這類題目的特殊方法，如插空法、捆綁法等．