Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=-f（1+x），當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）=log₂（x-1），則以下結(jié)論中正確的是

 

①f（x）圖象關(guān)于點（k，0）（k∈Z）對稱；
②y=|f（x）|是以2為周期的周期函數(shù)；
③當(dāng)x∈（-1，0）時f（x）=-log₂（1-x）；
④y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞增．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=-f（1+x），當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）=log₂（x-1），分析函數(shù)的對稱性，周期性，單調(diào)性，進而逐一分析四個結(jié)論的正誤，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
又∵f（x）滿足f（1-x）=-f（1+x），
∴f（x）=-f（-x）=-f（1+（-x-1））=f（1-（-x-1））=f（x+2）．
故函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
又由（0，0），（1，0）均為函數(shù)圖象的對稱中心，
故①f（x）圖象關(guān)于點（k，0）（k∈Z）對稱，正確；
②y=|f（x）|是以2為周期的周期函數(shù)，正確；
③當(dāng)x∈（-1，0）時，2-x∈（2，3），
∴f（2-x）=log₂（2-x-1）=log₂（1-x），
即f（-x）=log₂（1-x），
即f（x）=-log₂（1-x），
故正確；
④y=f（x）在（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞增．
故y=f（|x|），當(dāng)x＞0時，在（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜0時，在（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)單調(diào)遞減．
故正確的是：①②③，
故答案為：①②③

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．