如圖,等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,AF⊥BF,O為AB的中點,矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直.
(Ⅰ)求證:AF⊥平面CBF;
(Ⅱ)設(shè)FC的中點為M,求證:OM∥平面DAF.
(Ⅲ)求三棱錐C-BEF的體積.

【答案】分析:(Ⅰ)欲證AF⊥平面CBF,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面CBF內(nèi)兩相交直線垂直,而AF⊥CB,AF⊥BF,BF∩BC=B,滿足定理條件;
(Ⅱ)欲證OM∥平面DAF,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證OM/與平面DAF內(nèi)一直線平行,設(shè)DF的中點為N,OM∥AN又AN?平面DAF,OM?平面DAF,滿足定理條件.
(III)先計算底面三角形BEF的面積,在等腰梯形ABEF中,可得此三角形的高為,底EF為1,再計算三棱錐C-BEF的高,即為CB,最后由三棱錐體積計算公式計算即可
解答:(Ⅰ)證明:∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF,∵AF?平面ABEF,∴AF⊥CB
又AF⊥BF,且BF∩BC=B,BF、BC?平面CBF
∴AF⊥平面CBF
(Ⅱ)解:設(shè)DF的中點為N,則MNCD,又AOCD,則MNAO,
∴MNAO為平行四邊形
∴OM∥AN
又AN?平面DAF,OM?平面DAF
∴OM∥平面DAF
(III)∵AF=1,AF⊥BF,AB=2
∴∠FAB=60°
過點E作EH⊥AB于H,則∠EBH=60°,
∴EH=,EF=AB-2HB=1,
故S△BEF=×1×=
∵CB⊥平面ABEF
∴三棱錐C-BEF的高為CB=1
∴VC-BEF=×S△BEF×BC=××1=
點評:本題主要考查了直線與平面垂直的判定,以及直線與平面平行的判定,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習冊系列答案
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