Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0），直線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，切點的橫坐標(biāo)為1，且直線l與函數(shù)g（x）的圖象也相切．
（1）求直線l的方程及實數(shù)m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（3）當(dāng)0＜b＜a時，求證：f（a+b）-f（2a）＜

b-a

2a

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，再利用點斜式方程求出切線方程，最后將切線方程與 g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)聯(lián)立方程組，使方程組只有一解，利用判別式建立等量關(guān)系，求出m即可；
（2）先求出h（x）的解析式，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值；
（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln

a+b

2a

=ln（1+

b-a

2a

）．由（2）知當(dāng)x∈（-1，0）時，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，
ln（1+

b-a

2a

）＜

b-a

2a

即可得出f（a+b）-f（2a）＜

b-a

2a

．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1

x

，∴f'（1）=1．
∴直線l的斜率為1，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點坐標(biāo)為（1，0）．
∴直線l的方程為y=x-1．（2分）
又∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，
∴方程組

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

有一解．
由上述方程消去y，并整理得x2+2（m-1）x+9=0①
依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=[2（m-1）]2-4×9=0
解之，得m=4或m=-2
∵m＜0，∴m=-2．（5分）
（2）由（1）可知 g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

，
∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（7分）
∴當(dāng)x∈（-1，0）時，h'（x）＞0，當(dāng)x∈（0，+∞）時，h'（x）＜0．
∴當(dāng)x=0時，h（x）取最大值，其最大值為2，
（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln

a+b

2a

=ln（1+

b-a

2a

）．
∵0＜b＜a，∴-a，∴-

1

2

＜

b-a

2a

＜0．
由（2）知當(dāng)x∈（-1，0）時，h（x）＜h（0）∴當(dāng)x∈（-1，0）時，ln（1+x）＜x，
ln（1+

b-a

2a

）＜

b-a

2a

．∴f（a+b）-f（2a）＜

b-a

2a

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．