Question

如圖，在空間中的Rt△ABC與直角梯形EFGD中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AC∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．求二面角D-CG-F的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠MNF是所求二面角的平面角，在直角三角形MNF中，先求出此角的正切值，然后再求出余弦值．

解答： 解：∵四邊形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG
∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC，
∵MF∥DE，且MF=DE，∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則
顯然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四邊形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1
∴CD=CG=

5

，∴cos∠DGC=

GC2+GD2-CD2

2×GC×GD

=

5+4-5

2× 5 ×2

=

5

5

∴sin∠DGC=

2 5

5

，∴MN=MG•sin∠DGC=

2 5

5

在直角三角形MNF中，MF=2，MN=

2 5

5

∴tan∠MNF=

MF

MN

=

2

2 5 5

=

5

，cos∠MNF=

6

6

故面ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為

6

6

．

點評：本題主要考查相交平面所成二面角以及空間幾何體的幾何量的計算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法解決立體幾何問題的能力．也可以利用向量法求解．