Question

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)A(1，－2)．

(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）x＝－1 （2）存在，其方程為2x＋y－1＝0．

【解析】(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，

所以p＝2．

故所求的拋物線C的方程為y2＝4x，

其準(zhǔn)線方程為x＝－1．

(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t．

由，得y2＋2y－2t＝0．

因?yàn)橹本�l與拋物線C有公共點(diǎn)，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－．

另一方面，由直線OA到l的距離d＝可得＝，解得t＝±1．

因?yàn)椋?∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，

所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0．