Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-ln(-x)，x∈[-e，0) ax+lnx，x∈(0，e]

，其中a為常數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若（0，e]時，函數(shù)f（x）的最大值為-1，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，求證：ln(n+1)＜

n

i=1

1

n

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶性的定義解決該函數(shù)奇偶性的問題，注意分段函數(shù)蘊含的分類討論思想；
（2）確定函數(shù)在何處取到最大值，注意單調(diào)性的運用，列出關(guān)于實數(shù)a的方程，通過解方程求出實數(shù)a的值；
（3）利用第二問的結(jié)論建立一個常見的不等式，通過該不等式利用對數(shù)的運算性質(zhì)放縮證明出所要證明的不等式．

解答：解：（1）當x∈[-e，0）時，則-x∈（0，e]
∴f（-x）=a（-x）+ln（-x）=-ax+ln（-x）=-f（x）
當x∈（0，e]時，則-x∈[-e，0）
∴f（-x）=a（-x）-lnx=-ax-lnx=-（ax+lnx）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a，f′(x)=a+

1

x

①當a≥-

1

e

時，由于x∈（0，e]，∴f′(x)=a+

1

x

≥0
∴f（x）在x∈（0，e]上是增函數(shù)
∴f（x）_min=f（e）=ae+1=-1，a=-

2

e

＜-

1

e

（舍去）
②當a＜-

1

e

時，令f(x)=0，得x=-

1

a

則f（x）在[-

1

a

，e]上遞減，(0，-

1

a

)上遞增
∴f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-1，解得a=-1
綜合①②可知a=-1；
（3）由（2）知，f（x）=lnx-x≤-1，x∈（0，e]
∴l(xiāng)nx≤x-1（當且僅當x=1時取“=”）
∵1＜1+

1

n

＜e∴ln(1+

1

n

)＜

1

n

∴ln(1+

1

1

)+ln(1+

1

2

)+…+ln(1+

1

n

)=ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln(2×

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

)=ln(n+1)＜

1

1

+

1

2

+…+

1

n

∴ln(n+1)＜

n

i=1

1

n

(n∈N*)．

點評：本題考查分段函數(shù)的解決方法，考查分類討論思想，函數(shù)奇偶性的證明．函數(shù)最值的求解，考查方程思想．利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的意識，放縮放證明不等式．