Question

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為2，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn).

（1）求橢圓與拋物線(xiàn)的方程；

（2）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)分別交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），（異于點(diǎn)），證明：直線(xiàn)的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，拋物線(xiàn)的方程為；（2）見(jiàn)試題解析．

【解析】

（1）由題意可得，的值，運(yùn)用，求得，可得橢圓的方程.由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求得，即可得拋物線(xiàn)的方程.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去，可得，設(shè)，，，，即，，直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)方程為，聯(lián)立即，則，為方程兩根，解得，同理，計(jì)算即可.

（1）由題意可知，，即，，

橢圓的方程為

拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)

即

拋物線(xiàn)的方程為.

（2）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，

則，即

直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)

，解得且

設(shè)，，，則，為方程的兩根，即，

直線(xiàn)方程為：，直線(xiàn)方程為：

將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立

即，則與是該方程兩根.

所以，即

同理：直線(xiàn)方程為：時(shí)

所以，直線(xiàn)的斜率為定值.