已知在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)=
2x
2x+1
,下列說法錯誤的是( 。
分析:根據(jù)題目給出的奇函數(shù)在x∈(0,+∞)時的解析式,求出函數(shù)在x=0和x∈(-∞,0)的解析式,即可判斷選項(xiàng)B,然后求出f(-1)的值可判斷選項(xiàng)A,運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性得定義可判斷選項(xiàng)D,對于選項(xiàng)C,實(shí)則是求函數(shù)f(x)在R上的值域.
解答:解:因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,
設(shè)x∈(-∞,0),則-x∈(0,+∞),則f(x)=-f(-x)=-
2-x
2-x+1
=-
1
2x+1
.由此判斷選項(xiàng)B正確;
而f(-1)=-
1
2-1+1
=-
2
3
,所以選項(xiàng)A正確;
因?yàn)楫?dāng)x∈(-∞,0)時,2x∈(0,1),2x+1∈(1,2),-
1
2x+1
∈(-1,-
1
2
)
;當(dāng)x=0時,f(x)=0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,2x>1,0<
1
2x
<1
,
2x
2x+1
∈(
1
2
,1)

所以,若y=f(x)-λ在R上存在零點(diǎn),則λ∈(-1,-
1
2
)∪(
1
2
,1)
∪{0},選項(xiàng)C中多取了-1和1,所以不正確;
設(shè)-1<x1<x2≤0,則f(x1)-f(x2)=-
1
2x1+1
+
1
2x2+1
=
2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)
,
因?yàn)?1<x1<x2≤0,所以2x1-2x2<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-10,]上是增函數(shù),不是單調(diào)遞減函數(shù),所以選項(xiàng)D正確;
所以說法錯誤的只有選項(xiàng)C.
故選C.
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì),考查了函數(shù)值域的求法,考查了函數(shù)單調(diào)性的定義,解答此題的關(guān)鍵是求出函數(shù)在R上的解析式,此題為中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

12、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

13、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,f(-1)=1,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)的值為
-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年四川省成都七中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x∈(0,+∞)時,,下列說法錯誤的是( )
A.
B.x∈(-∞,0)時,
C.若y=f(x)-λ在R上存在零點(diǎn),則
D.y=f(x)在區(qū)間(-1,0]上不是單調(diào)遞減函數(shù)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年四川省成都七中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x∈(0,+∞)時,,下列說法錯誤的是( )
A.
B.x∈(-∞,0)時,
C.若y=f(x)-λ在R上存在零點(diǎn),則
D.y=f(x)在區(qū)間(-1,0]上不是單調(diào)遞減函數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案