已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若x=1為f(x)的極值點(diǎn),求a的值;
(Ⅱ)若y=f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+y-3=0,求f(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)a≠0時(shí),若f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)f′(x),根據(jù)x=1為f(x)的極值點(diǎn),得到f′(1)=0,解這個(gè)方程即可求得a的值;
(Ⅱ)根據(jù)切點(diǎn)在切線上,求得f(1),且切點(diǎn)在y=f(x)的圖象上,代入求得關(guān)于a,b的一個(gè)方程,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)=-1,解方程組即可求得a,b的值,求函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,4)上的極值,再與f(-2),f(4)比較大小,可求f(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值;
(Ⅲ)由f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),得函數(shù)f′(x)在(-1,1)上存在零點(diǎn),討論求得a的值.
解答:解:(Ⅰ)∵f′(x)=x2-2ax+(a2-1)
∵x=1為f(x)的極值點(diǎn),
∴f′(1)=0,即a2-2a=0,
∴a=0或2;

(II)∵(1,f(1))是切點(diǎn),
∴1+f(1)-3=0∴f(1)=2
即a2-a+b-=0
∵切線方程x+y-3=0的斜率為-1,
∴f'(1)=-1,即a2-2a+1=0,
∴a=1,
∵f(x)=
∴f'(x)=x2-2x,可知x=0和x=2是y=f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn).
∵f(0)=,f(-2)=-4,f(4)=8
∴y=f(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為8.   
                  
(Ⅲ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào),所以函數(shù)f′(x)在(-1,1)上存在零點(diǎn).
而f'(x)=0的兩根為a-1,a+1,相距2,
∴在區(qū)間(-1,1)上不可能有2個(gè)零點(diǎn).
所以f′(-1)f′(1)<0
即:a2(a+2)(a-2)<0
∵a2>0,∴(a+2)(a-2)<0,-2<a<2
又∵a≠0,
∴a∈(-2,0)∪(0,+2).
點(diǎn)評(píng):考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和閉區(qū)間上的最值,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( �。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
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x
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,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
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求證:f1(x)+f2(x)>
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1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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