Question

設(shè)在平面上取定一個極坐標(biāo)系，以極軸作為直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸，以θ=

π

2

的射線作為y軸的正半軸，以極點為坐標(biāo)原點，長度單位不變，建立直角坐標(biāo)系，已知曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2，直線l的參數(shù)方程

x=1-t y=2t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程與曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達式為

X=2x Y=y

，求C在此變換下得到曲線C'的方程，并求曲線C′內(nèi)接矩形的最大面積．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2，即ρ²=2，化簡可得結(jié)果．
（Ⅱ）先求得曲線C在此變換下得到曲線C'的方程為 (

X

2

)2+Y²=2，再求得曲線C'的參數(shù)方程為

x=2 2 cosα Y= 2 sinα

，根據(jù)橢圓的對稱性，曲線的內(nèi)接矩形的面積為4|XY|=8|sin2α|，由此可得曲線的內(nèi)接矩形的面積最大值．

解答： 解：（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程

x=1-t y=2t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程為 2x+y-2=0．
曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2，即 ρ²=2，即 ρ=

2

．
（Ⅱ）設(shè)平面上伸縮變換的坐標(biāo)表達式為

X=2x Y=y

，
曲線C在此變換下得到曲線C'的方程為 (

X

2

)2+Y²=2，即

X2

8

+

Y2

2

=1．
曲線C'的參數(shù)方程為

x=2 2 cosα Y= 2 sinα

，根據(jù)橢圓的對稱性，曲線的內(nèi)接矩形的面積為4|XY|=8|sin2α|，
故當(dāng)α=

π

4

時，曲線的內(nèi)接矩形的面積最大為8．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，曲線的伸縮變換，屬于基礎(chǔ)題．