Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

lnx

-ax，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為2．
（Ⅰ）求a的值；     
（Ⅱ）求f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率為2，得到a的方程，即可求得a；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x＞1，令導(dǎo)數(shù)大于0，得到增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得到減區(qū)間，
從而得到函數(shù)的極小值，無極大值．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a⇒f′(e)=-a=2⇒a=-2
（Ⅱ）f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

+2=

2(lnx)2+lnx-1

(lnx)2

=

(2lnx-1)(lnx+1)

(lnx)2

≥0⇒x≥

e

則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

e

，+∞)，
令f′（x）＜0，得1＜x＜

e

，
單調(diào)遞減區(qū)間為(1，

e

)；
則f（x）在x=

e

處取極小值f(

e

)=4

e

，無極大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．