Question

在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，求證：
（1）BC∥平面PDF；   （2）BC⊥平面PAE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得：DF∥BC，再結(jié)合線面平行的判定定理可得：BC∥平面PDF．
（2）由題意可得：AB=AC，PB=PC．因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以BC⊥PE，BC⊥AE．結(jié)合線面垂直的判定定理可得：所以BC⊥平面PAE．

解答：解：（1）因?yàn)镈，F(xiàn)分別是AB、CA的中點(diǎn)，
所以DF∥BC，
又因?yàn)镈F?平面PDF，BC?平面PDF，
所以BC∥平面PDF．
（2）因?yàn)樵谡�四面體P-ABC中，
所以AB=AC，PB=PC．
因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，
所以BC⊥PE，BC⊥AE．
又因?yàn)镻E∩AE=E，PE?平面PAE，AE?平面PAE，
所以BC⊥平面PAE．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及熟練掌握線面平行與線面垂直的判定定理．