Question

已知函數(shù)，y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，
（Ⅰ）求f（x） 的解析式；
（Ⅱ）求f（x）對稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵的最大值為2，且函數(shù)圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π，
∴函數(shù)的最小正周期T=π，可得，
∴函數(shù)的解析式為：…（4分）
（Ⅱ）令，k∈Z，得．
∴f（x）的對稱軸方程：…（6分）
由，解得，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，（k∈Z）…（8分）
（Ⅲ）∵，
∴，可得-≤sin（2x+）≤1…（10分）
當(dāng)2x+=-時，即時，f（x）有最小值為-；
當(dāng)2x+=時，即時，f（x）有最大值為2．
分析：（I）根據(jù)函數(shù)的最大值為2和三角函數(shù)的周期公式，算出ω=2，從而求出f（x） 的解析式；
（II）由（I）所得的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間和對稱軸方程的結(jié)論，即得函數(shù)的對稱軸方程和單調(diào)增區(qū)間；
（III）當(dāng)x∈時，可得2x+∈[-，]，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)的最大值和最小值．
點評：本題給出三角函數(shù)式滿足的條件，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和閉區(qū)間上的最值，著重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識、復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．