Question

（本題滿分12分）如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，點E是棱CC₁的中點。
 
（I）求三棱錐D₁—ACE的體積；
（II）求異面直線D₁E與AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A—D₁E—C的正弦值。

Answer 1

（I）；（II）（III）

試題分析：（I）  …………3分
（II）取DD₁的中點F，連結(jié)FC，則D₁E//FC，
∴∠FCA即為異面直線D₁E與AC
所成角或其補角。 …………5分

∴異面直線D₁E與AC所成角的余弦值為…………7分
（III）過點D作DG⊥D₁E于點G，連接AG，由AD⊥面D₁DCC₁，
∴AD⊥D₁E
又∵DG⊥D₁E，∴D₁E⊥面ADG
∴D₁E⊥AG，則∠AGD為二面角A—D₁E—C的平面角  ……9分
∵D₁E·DG=DD₁·CD，
 ，
二面角A—D₁E—C的正弦值為…………12分
法二：（I）同法一   ………………3分
（II）以D為原點，分別以DA,DC,DD₁為ox,oy,oz軸建立空間直角坐標系。

（III）顯然是平面D₁DCE的法向量，
設(shè)平面D₁AE的一個法向量為

二面角A—D₁E—C的正弦值為…………12分
點評：求異面直線所成的角，解題的關(guān)鍵是：首先正確的建立空間直角坐標系，然后可將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)的向量的夾角或其補角；而對于利用向量法求線面角關(guān)鍵是正確求解平面的一個法向量。注意計算要仔細、認真。