Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）求直線的斜率；

（3）設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，且，求橢圓方程.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】

（1）由，，得，得到的關(guān)系式，由此能求出離心率；（2）將橢圓的方程為寫為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出直線的斜率；（3）求出，，取，得，推導(dǎo)出外接圓的方程，與直線的方程聯(lián)立解出，得，再由，解得，由此能求出橢圓方程．

（1）由且，得，從而

整理，得，故離心率.

（2）由（1）得，所以橢圓的方程可寫為

設(shè)直線的方程為，即.

由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組

消去整理，得.

依題意，，得.

而 ①

②

由題設(shè)知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以

③

聯(lián)立①③解得

將 代入②中，解得.

（3）由（2）可知.

不妨取，得，由已知得.

線段的垂直平分線的方程為，直線與軸的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

，由，解得

由 解得

故橢圓方程為.