Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的方程為x²=4y+4．
（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；
（2）直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8，求l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得拋物線C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ₁，ρ₂，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得cos²αρ²-4sinαρ-4=0，利用極徑的幾何意義，即可求解．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得拋物線C的極坐標(biāo)方程ρ²cos²θ-4ρsinθ-4=0；
（2）在（1）中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R），
設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ₁，ρ₂，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得cos²αρ²-4sinαρ-4=0，
∵cos²α≠0（否則，直線l與拋物線C沒有兩個(gè)公共點(diǎn)）
于是${ρ_1}+{ρ_2}=\frac{4sinα}{{{{cos}^2}α}}，{ρ_1}{ρ_2}=-\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$，$|{AB}|=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{{{（{{ρ_1}+{ρ_2}}）}^2}-4{ρ_1}{ρ_2}}=\frac{{\sqrt{16{{cos}^2}α+16{{sin}^2}α}}}{{{{cos}^2}α}}=\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$，
由|AB|=8得${cos^2}α=\frac{1}{2}，tanα=±1$，
所以l的斜率為1或-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查普通方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查極徑的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．