Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知頂點A上三條棱長分別是、2．如果對角線AC₁與過點A的相鄰三個面所成的角分別是α、β、γ，那么cos²α+cos²β+cos²γ=________．

Answer 1

2
分析：跟據(jù)題意知，分別找出對角線AC₁與面AB₁所成的角為∠C₁AB₁=α，與面AD₁所成的角為∠C₁AD₁=β；與面AC所成的角為∠C₁AC=γ；，并且求出它們的余弦值，可求cos²α+cos²β+cos²γ的值．
解答：解：∵B₁C₁⊥面AB₁，
∴AC₁與面AB₁所成的角為∠C₁AB₁=α；
同理AC₁與面AD₁所成的角為∠C₁AD₁=β；
AC₁與面AC所成的角為∠C₁AC=γ；
∵AB=2，AD=，AA₁=，
∴AC₁=3，AC=，AB=，AD₁=，
∴cosα==，cosβ==，cosγ=，
∴cos²α+cos²β+cos²γ=，
故答案為2．
點評：考查直線和平面所成的角，關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角求解，屬中檔題．