Question

設a，b是正實數，以下不等式：①a+

1

b

≥2；②

2(a2+b2)

≥a+b；③

ab

≥

2ab

a+b

；④a＜|a-b|+b，
其中恒成立的有（　�。�

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②④

Answer 1

分析：①a，b是正實數，求a+

1

b

的最小值，由于不知道ab是否為定值，特殊值法；②分析法證明，兩邊平方；③根據基本不等式a+b≥2

ab

，取倒數，根據不等式的基本性質可證；④取特殊值，a=3，b=1可知結論不成立．

解答：解：①∵a，b是正實數，而ab不一定是定值，故a+

1

b

≥2不一定成立，如a=

1

2

，b=1，a+

1

b

=

3

2

＜2．
②∵a，b是正實數
∴（a+b）²=a²+b²+2ab≤2（a+b）²
∴

2(a2+b2)

≥a+b
③a，b是正實數，a+b≥2

ab

，
∴

1

a+b

≤

1

2 ab

，兩邊同時乘以2ab得

ab

≥

2ab

a+b

④令a=3，b=1，則|a-b|+b=3=a，故④不成立．
故選B．

點評：應用基本不等式證明不等式或求最值，應注意正、定、等，要說明一個命題是假命題，只要舉一個反例即可，屬基礎題．