Question

已知f（x）=-2sin²x+2

3

sinxcosx+5
（1）將函數(shù)化為f（x）=Asin（ωx+φ）+k（其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的形式，并指出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[

π

2

，π]時(shí)，求f（x）的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，直接利用周期公式直接求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+4，當(dāng)x∈[

π

2

，π]時(shí)，求出2x+

π

6

的范圍，進(jìn)而得到f（x）的范圍．

解答：解：（1）由于f（x）=-2sin²x+2

3

sinxcosx+5
=-2×

1-cos2x

2

+

3

sin2x+5
=cos2x-

3

sin2x+4
=2sin(2x+

π

6

)+4
則函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+4，
∵x∈[

π

2

，π]，∴

7π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]，故f（x）∈[2，5]
∴f（x）的范圍為[2，5]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，二倍角公式與兩角和的正弦公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的周期性以及三角函數(shù)的值域，計(jì)算能力．