已知△的兩個頂點的坐標分別是,且所在直線的斜率之積等于.
(Ⅰ)求頂點的軌跡的方程,并判斷軌跡為何種圓錐曲線;
(Ⅱ)當時,過點的直線交曲線于兩點,設點關于軸的對稱
點為(不重合) 試問:直線與軸的交點是否是定點?若是,求出定點,若不是,請說明理由.
(Ⅰ)當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓,且除去兩點;
當時 軌跡表示以為圓心半徑是1的圓,且除去兩點;
當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓,且除去兩點;
當時 軌跡表示焦點在軸上的雙曲線,且除去兩點;
(Ⅱ)直線過定點.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)根據,分類討論參數,軌跡為何種圓錐曲線;(Ⅱ)
一般思路是設點,構造方程,組成方程組,利用一元二次方程的根與系數的關系,從而得到直線的方程,令求得定點的坐標.
試題解析:(Ⅰ)由題知: 化簡得:, 2分
當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓,且除去兩點;
當時 軌跡表示以為圓心半徑是1的圓,且除去兩點;
當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓,且除去兩點;
當時 軌跡表示焦點在軸上的雙曲線,且除去兩點; 6分
(Ⅱ)設
依題直線的斜率存在且不為零,則可設:,
代入整理得
,, 9分
又因為不重合,則
的方程為 令,
得
故直線過定點. 13分
解二:設
依題直線的斜率存在且不為零,可設:
代入整理得:
,, 9分
的方程為 令,
得
直線過定點 13分
考點:圓、橢圓、雙曲線的定義、性質,定點問題.
科目:高中數學 來源:2010-2011年廣東省廣州市高二下學期期末教學質量檢測理科數學 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知的兩個頂點的坐標為,且的斜率之積等于,若頂點的軌跡是雙曲線(去掉兩個頂點),求的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2012-2013學年湖北省八市高三3月聯(lián)考理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分13分)已知△的兩個頂點的坐標分別是,且所在直線的斜率之積等于.
(Ⅰ)求頂點的軌跡的方程,并判斷軌跡為何種圓錐曲線;
(Ⅱ)當時,過點的直線交曲線于兩點,設點關于軸的對稱點為(不重合) 試問:直線與軸的交點是否是定點?若是,求出定點,若不是,請說明理由.
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科目:高中數學 來源:2012-2013學年湖北省八市高三3月聯(lián)考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本大題滿分14分)
已知△的兩個頂點的坐標分別是,,且所在直線的斜率之積等于.
(Ⅰ)求頂點的軌跡的方程,并判斷軌跡為何種圓錐曲線;
(Ⅱ)當時,過點的直線交曲線于兩點,設點關于軸的對稱點為(不重合).求證直線與軸的交點為定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數學 來源:2010-2011年廣東省廣州市高二下學期期末教學質量檢測理科數學 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知的兩個頂點的坐標為,且的斜率之積等于,若頂點的軌跡是雙曲線(去掉兩個頂點),求的取值范圍.
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