Question

已知△的兩個頂點的坐標分別是，且所在直線的斜率之積等于．

（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；

（Ⅱ）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱

點為(不重合) 試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點；

當時  軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時   軌跡表示焦點在軸上的雙曲線，且除去兩點；

（Ⅱ）直線過定點.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據，分類討論參數，軌跡為何種圓錐曲線；（Ⅱ）

一般思路是設點，構造方程，組成方程組，利用一元二次方程的根與系數的關系，從而得到直線的方程，令求得定點的坐標.

試題解析：（Ⅰ）由題知： 化簡得：，     2分

當時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點；

當時  軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；

當時   軌跡表示焦點在軸上的雙曲線，且除去兩點；  6分

（Ⅱ）設 

依題直線的斜率存在且不為零，則可設:，

代入整理得

，，                            9分

又因為不重合，則

的方程為 令，

得

故直線過定點.                                    13分

解二：設

依題直線的斜率存在且不為零，可設:

代入整理得：

,，                            9分

的方程為   令，

得

直線過定點                                    13分

考點：圓、橢圓、雙曲線的定義、性質，定點問題.