Question

給定拋物線c：y²=4x，F(xiàn)是c的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與c相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）設(shè)l的斜率為1，求

OA

與

OB

夾角的余弦值；
（2）設(shè)

FB

=λ

AF

，若λ∈[4，9]，求l在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去x，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，可求

OA

與

OB

夾角的余弦值；
（2）得關(guān)于x₂和y₂的方程組，進(jìn)而求得x₂=λ．得到B的坐標(biāo)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得直線的方程，進(jìn)而求得直線在y軸上的截距，判斷g（λ）=

2 λ

λ-1

在[4，9]上是遞減的在[4，9]上是遞減的，即可得到答案．

解答：解：（1）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的斜率為1，∴l(xiāng)的方程為y=x-1．
將y=x-1代入方程y²=4x，整理得x²-6x+1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，y₁+y₂=4，y₁y₂=-4．
∴cos＜

OA

，

OB

＞=

OA • OB

| OA || OB |

=

x1x2+y1y2

x12+y12• x22+y22

=-

3 41

41

．
∴

OA

與

OB

夾角的余弦值為-

3 41

41

．
（2）由題設(shè)得（x₂-1，y₂）=λ（1-x₁，-y₁），
即x₂-1=λ（1-x₁）①，y₂=-λy₁②
由②得y₂²=λ²y₁²，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
，∴x₂=λ²x₁③
聯(lián)立①③解得x₂=λ．依題意有λ＞0．
∴B（λ，2

λ

）或B（λ，-2

λ

），
又F（1，0），
得直線l的方程為（λ-1）y=2

λ

（x-1）或（λ-1）y=-2

λ

（x-1）
當(dāng)λ∈[4，9]時(shí)，l在y軸上的截距為

2 λ

λ-1

或-

2 λ

λ-1

，
設(shè)g（λ）=

2 λ

λ-1

，λ∈[4，9]，
可知g（λ）=

2 λ

λ-1

在[4，9]上是遞減的，
∴

3

4

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，或-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

3

4

，
即直線l在y軸上截距的變化范圍為

3

4

≤

2 λ

λ-1

≤

4

3

，或-

4

3

≤-

2 λ

λ-1

≤-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用和拋物線與直線的關(guān)系，考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合掌握，有難度．