Question

定義在R上的增函數(shù)y=f（x），對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）；
（2）判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，對任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）可構(gòu)造一個關(guān)于f（0）的方程，解方程即可得到答案；
（2）令y=-x，f（x+y）=f（x）+f（y），可得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)論；
（3）由（2）中函數(shù)的奇偶性及已知中函數(shù)的單調(diào)性，可將不等式f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0具體化，利用換元法，轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于k的二次不等式，解不等式即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）令y=x=0得
f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）f（x）為奇函數(shù)，理由如下：
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）
故f（-x）=-f（x）
又函數(shù)的定義域?yàn)镽
∴f（x）為奇函數(shù)
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0
∴若f（k3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
又函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)
∴k3^x＜-3^x+9^x+2
即（3^x）²-（k-3）3^x+2＞0
令t=3^x，則t＞0
故已知條件可化為t²-（k-3）t+2＞0在（0，+∞）上恒成立
即

8-(k-3)2

4

＞0
解得3-2

2

＜0＜3+2

2

∴a的取值范圍是（3-2

2

，3+2

2

）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)函數(shù)值的求法，單調(diào)性的判斷及單調(diào)性的應(yīng)用，其中抽象函數(shù)“湊”的思想是解答的關(guān)鍵．