Question

已知向量

a

=(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，

b

=(cosx， -1)，定義f(x)=

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值及取得最大值時(shí)的x．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，然后利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期；利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)單調(diào)減時(shí)x+

π

4

的范圍，進(jìn)而求得x的范圍即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性和x+

π

4

的范圍求得函數(shù)的最大值，然后讓x+

π

4

=

π

2

+2kπ求得x的值．

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+cosx-cos2x+sinx-1=

2

sin(x+

π

4

)
所以T=2π，由

π

2

+kπ≤x+

π

4

≤

3π

2

+kπ，
得f（x）的減區(qū)間[

π

4

+kπ，

5π

4

+kπ](k∈Z)；
（2）由x+

π

4

=2kπ+

π

2

，得x=2kπ+

π

4

，k∈Z，
所以當(dāng)k=0時(shí)，x=

π

4

，f(x)max=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式和兩角和與差的公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的基本性質(zhì)．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的公式比較多，平時(shí)一定要加強(qiáng)記憶，到運(yùn)用時(shí)方能做到 游刃有余．