Question

（2012•廣安二模）設(shè)x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值．．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），知f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）依題意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，由此能求出f（x）．
（2）由f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），知x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，且|x1|+|x2|=2

2

，故（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．由此能求出b的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，
∴

3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0

(a＞0)．
解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．．
（2）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依題意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，
且|x1|+|x2|=2

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a）
∵b²≥0，
∴0＜a≤6設(shè)p（a）=3a²（6-a），
則p′（a）=-9a²+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，
由p'（a）＜0得a＞4．
即：函數(shù)p（a）在區(qū)間（0，4]上是增函數(shù)，
在區(qū)間[4，6]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a=4時(shí)，p（a）有極大值為96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值為4

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法和實(shí)數(shù)b的最大值的求法，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．