Question

（本題滿分12分）如圖，底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，AC="1," PA="2," PB=PD=，點M是PD的中點．

(Ⅰ)證明：PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)若AN為PD邊的高線，求二面角M-AC-N的余弦值．

Answer 1

證明：見解析；
（Ⅱ）．

本試題主要是考查了線面垂直的判定和二面角平面角的求解的綜合運用。
（1）要證明線面垂直，要通過判定定理線線垂直得到線面垂直，關(guān)鍵是證明，。
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示出平面的法向量與法向量的夾角，進而求解二面角的平面角的大小的求解。

證明：（Ⅰ）∵菱形ABCD中∠ABC=60°，
∴ABC為等邊三角形
∴--------1分
又∵，
∴有，
∴，-------3分
∴，，而
∴平面（4分）
（Ⅱ）取BC中點E，連結(jié)AE，則AE⊥BC．以點A為坐標(biāo)原點，AE為x軸正向，AD為y軸正向，AP為z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則
（5分）
在PAD內(nèi)，AD="1," AP=2，∴PD=, AN=，點
（6分）
設(shè)平面AMC的一個法向量為，則
，
令y="1," 則，得平面AMC的一個法向量；（8分）
設(shè)平面ANC的法向量為，則，
令y="1," 得平面ANC的一個法向量（10分）
設(shè)二面角M-AC-N的平面角為，由圖像知其必為銳角，從而有（12分）
．