Question

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由題意知在x=1處的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程求出a的值．
（2）由kx-2=2x-2+e^-x參變量分離得k=2+

1

xex

，k轉(zhuǎn)化成求g（x）=2+

1

xex

在（∞，0）的取值范圍，從而得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=2-ae^-x，
∵f（x）在x=1處的切線平行于x軸，
∴f′（1）=0，
即2-ae^-1=0，解得a=2e，
（2）a=1時，f（x）=2x-2+e^-x，
由題意可知方程kx-2=2x-2+e^-x在（∞，0）上有解，
整理得k=2+

1

xex

，
令g（x）=2+

1

xex

，g′(x)=

-(ex+xex)

(xex)2

=-

1+x

x2ex

當(dāng)x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-1，0）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（-1）=2-e，
則g（x）≤g（-1）=2-e，故k≤2-e，
所以k的取值范圍為k≤2-e．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查了函數(shù)的零點問題，對于函數(shù)有交點問題經(jīng)常利用參變量分離得方法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．屬于中檔題．