Question

定義函數(shù)f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，則函數(shù)g（x）=xf（x）-6在區(qū)間[1，2ⁿ]（n∈N^*）內(nèi)的所有零點的和為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，要分區(qū)間進行討論，當1≤x≤2，f（x）是二次函數(shù)，當x＞2時，對應的函數(shù)很復雜，找出其中的規(guī)律，最后作和求出．

解答： 解：當1≤x≤

3

2

時，f（x）=8x-8，
所以g（x）=8（x-

1

2

）2-8，此時當x=

3

2

時，g（x）_max=0；
當

3

2

＜x≤2時，f（x）=16-8x，所以g（x）=-8（x-1）²+2＜0；
由此可得1≤x≤2時，g（x）_max=0．
下面考慮2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2時，g（x）的最大值的情況．
當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，由函數(shù)f（x）的定義知f（x）=

1

2

f（

x

2

）=…=

1

2n-1

f（

x

2n-1

），
因為1≤

x

2n-1

≤

3

2

，
所以g（x）=

1

22n-5

（x-2n-2）2-8，
此時當x=3•2^n-2時，g（x）_max=0；
當3•2^n-2≤x≤2ⁿ時，同理可知，g（x）=-

1

22n-5

（x-2n-1）2+8＜0．
由此可得2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2時，g（x）_max=0．
綜上可得：對于一切的n∈N^*，函數(shù)g（x）在區(qū)間[2^n-1，2ⁿ]上有1個零點，
從而g（x）在區(qū)間[1，2ⁿ]上有n個零點，且這些零點為x_n=3•2^n-2，因此，所有這些零點的和為

3

2

(2n-1)．
故答案為：

3

2

(2n-1)．

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷的問題，是一道較復雜的問題，首先它是分段函數(shù)，各區(qū)間上的函數(shù)又很復雜，挑戰(zhàn)人的思維和耐心．