Question

12．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”．給出下列四個(gè)函數(shù)：①f（x）=|x|；②f（x）=2x²-1；③f（x）=|1-2^x|；④f（x）=log₂（2x-2）．其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域區(qū)間；在②中，[-1，1]是唯一的可等域區(qū)間；在③中，函數(shù)只有一個(gè)等可域區(qū)間[0，1]； 在④中，函數(shù)無可等域區(qū)間．

解答 解：在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域區(qū)間，故①成立；
在②中，f（x）=2x²-1≥-1，且f（x）在x≤0時(shí)遞減，在x≥0時(shí)遞增，
若0∈[m，n]，則-1∈[m，n]，于是m=-1，又f（-1）=1，f（0）=-1，而f（1）=1，故n=1，
[-1，1]是一個(gè)可等域區(qū)間；
若n≤0，則$\left\{\begin{array}{l}{2{n}^{2}-1=m}\\{2{m}^{2}-1=n}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$，n=$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}＞0$，不合題意，
若m≥0，則2x²-1=x有兩個(gè)非負(fù)解，但此方程的兩解為1和-$\frac{1}{2}$，也不合題意，
故函數(shù)f（x）=2x²-1只有一個(gè)等可域區(qū)間[-1，1]，故②成立；
在③中，函數(shù)f（x）=|1-2^x|的值域是[0，+∞），所以m≥0，
函數(shù)f（x）=|1-2^x|在[0，+∞）上是增函數(shù)，考察方程2^x-1=x，
由于函數(shù)y=2^x與y=x+1只有兩個(gè)交點(diǎn)（0，1），（1，2），即方程2^x-1=x只有兩個(gè)解0和1，
因此此函數(shù)只有一個(gè)等可域區(qū)間[0，1]，故③成立；
在④中，函數(shù)f（x）=log₂（2x-2）在定義域（1，+∞）上是增函數(shù)，
若函數(shù)有f（x）=log₂（2x-2）等可域區(qū)間[m，n]，則f（m）=m，f（n）=n，
但方程log₂（2x-2）=x無解（方程x=log₂x無解），故此函數(shù)無可等域區(qū)間，故④不成立．
綜上只有①②③正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的可等域區(qū)間的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．